EDY JUNIAWAN FOR EDUCATION: CONTOH SOAL OLYMPIADE DAN PENYELESAIAN

KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA

1. Selisih banyak faktor prima dan banyak faktor bukan prima dari bilangan 3800 adalah ….

Solusi :

Faktor-faktor dari bilangan 3800 banyaknya 24 buah yaitu (1, 2, 4, 5, 8, 10, 19, 20, 25, 38, 40, 50, 76, 95, 100, 152, 190, 200, 380, 475, 760, 950, 1900 dan 3800).

Faktor prima ada 3

Faktor bukan prima ada 21.

Jadi selisihnya 21 - 3 = 18.

2. 2 + 10 + 30 + 68 + 130 + … + 1342 = ….

Solusi:

+ 1) + (2

+ 2)+ (3

+ 3) + … + (11

+ 11)

Pola 1 pola 2 pola 3 pola 11

Pengerjaannya: (1

+ 2

+ 3

+ … + 11

) + ( 1 + 2 + 3 + … + 11)

(n + 1 )

+ (

n (n + 1)

(11 + 1)

+ (

11 (11 + 1)

121 (144) +

11 (12)

4356 + 66 = 4422

3. Nomor seri kendaraan bermotor ditentukan dengan 4 angka dan dua huruf di belakang angka. Angka pertama tidak boleh nol, dan huruf pertama hanya boleh A, S, U, atau V. Tidak boleh ada huruf dan angka yang sama. Berapa nomor seri yang dapat dibuat ?

Solusi:

9 x 9 x 8 x 7 x 4 x 25

81 x 56 x 100

4536 x 100 = 453.600

4. Rasio dua buah bilangan adalah 5 : 2. Jika setiap bilangan ditambah 4, maka rasionya menjadi 7 : 3. Jumlah kedua bilangan semula adalah …

Solusi :

a : b = 5 : 2

a =

7 (b + 4 ) = 3 (a + 4 )

7b + 28 = 3(

) + 12 a = 80

7b + 28 = 7,5 b + 12

7b – 7,5 b = 12 – 28

-0,5 b = - 16

b = 32

Jadi jumlah kedua bilangan itu adalah : 32 + 80 = 112

5. Bu guru menulis 5 buah bilangan di papan tulis. Ia memberi tugas kepada 5 orang siswa untuk menjumlahkan masing-masing empat bilangan yang ada. Setiap siswa tidak boleh menjumlahkan empat bilangan yang sudah dilakukan oleh temannya. Kelima siswa itu memperoleh hasil 84, 88, 91, 93 dan 96. Tentukan jumlah dari bilangan terbesar dan terkecil yang ditulis Bu Guru !

Solusi:

B + C + D + E = 84

A + C + D + E = 88

A + B + D + E = 91

A + B + C + E = 93

A + B + C + D = 96

4A + 4B + 4 C + 4D + 4E = 452

4 (A + B + C + D + E) = 452

A + B + C + D + E = 452 : 4

A + B + C + D + E = 113

A = 113 - 84 = 29

B = 113 – 88 = 25

C = 113 – 91 = 22

D = 113 – 93 = 20

E = 113 – 96 = 17

Bilangan terbesar 29

Bilangan terkecil 17

Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah 29 + 17 = 46

6. Petugas jaga di sekolah Kepolisian, setiap jam akan memukul lonceng sebanyak pukul yang ditunjukkan pada saat itu. Setengah jam berikutnya petugas jaga hanya memukul lonceng sekali. (pola pemukulan lonceng menggunakan 12 jam). Berapa banyak lonceng yang di dengar bila petugas jaga itu bertugas dari pukul 07.05 sampai 15.35 ?

Solusi :

1. 07.30 = 1 x

2. 08.00 = 8 x

3. 08.30 = 1 x

4. 09.00 = 9 x

5. 09.30 = 1 x

6. 10.00 = 10 x

7. 10.30 = 1 x

8. 11.00 = 11 x

9. 11.30 = 1 x

10. 12.00 = 12 x

11. 12.30 = 1 x

12. 13.00 = 13 x

13. 13.30 = 1 x

14. 14.00 = 14 x

15. 14.30 = 1 x

16. 15.00 = 15 x

17. 15.30 = 1 x

Jumlah 65 kali. Jadi dari jam 07.05 sampai 15.35 bunyi lonceng sebanyak 65 kali.

7. Seorang pedagang membeli cengkeh basah beratnya 75 kg mempunyai kadar air 40%. Setelah dijemur, kadar airnya turun menjadi 15%. Jika pedagang tersebut membelinya saat masih basah Rp25.000,00 per kg dan harga keringnya per kg Rp50.000,00. Untung atau rugikah pedagang tersebut dan berapa untung atau ruginya?

Solusi :

Berat cengkeh basah = 75 kg.

Kadar air 40% =

x 75 = 30 kg.

Ampasnya 60% = 75 – 30 = 45 kg.

Cengkeh setelah dijemur

Kadar airnya 15 =

x 30 = 4,5 kg.

Jadi kadar air setelah dijemur 30 kg – 4,5 kg = 25,5 kg.

Sehingga berat cengkeh kering 75 kg – 25,5 kg = 49,5 kg.

Harga cengkeh basah 75 x 25 .000 = 1.875.000.

Harga cengkeh kering 49,5 x 50.000 = 2.475.000.

Keuntungan 2.475.000 – 1.875.000 = 600.000

Jadi keuntungan penjualan cengkah tersebut adalah Rp. 600.000,00.

8. Suatu perkampungan memiliki 1.200 penduduk. 40% penduduk adalah perempuan, 80% dari penduduk perempuan adalah orang Bali Age. Jumlah perempuan Bali Age 140 lebih sedikit dari jumlah laki-laki Bali Age. Berapa penduduk laki-laki yang bukan Bali Age ?

Solusi :

Perempuan = 40% x 1.200 = 480 orang.

Perempuan Bali age 80% x 480 = 384 orang.

Laki-laki Bali Age = 384 + 140 = 524 orang.

Penduduk laki-laki perkampungan itu adalah 60% x 1.200 = 720 orang.

Jadi untuk penduduk bukan Bali Age adalah 720 – 524 = 196 orang

9. Umur A terdiri dari dua angka. Jika angka-angka pada umur A ditukar, maka akan diperoleh umur B. Selisih umur A dengan B adalah dua kali umur C. Umur B sepuluh kali umur C. Berapakah umur A, B, dan C ?

Solusi :

Misal : Umur A = xy maka 10x + y

Umur B = yx maka 10y + x

Selisih Umur ( A - B ) = 2c. Umur B = 10 x C.

Sehingga :

B = 10C C =

B ...........( 1 )

A - B = 2C A - 10 c = 2c

A = 12 c ........( 2 )

A = 12 x

Ø 10x + y =

( 10y + x )

Ø 10x + y = 12y +

Ø 10x +

x =12y – y

x = 11y

Ø x =

x 11y

Ø x =

y x =

y sehingga

artinya x =5 dan y = 4

Jadi Umur A ( xy) = 54 tahun.

Umur B ( yx ) = 45 tahun

Umur C (

B )

x 45 = 4,5 tahun.

10. Berdasarkan survey yang dilakukan di SD Asri, diperoleh hasil 35% dari siswanya senang bermain Bulu tangkis. 0,4 bagian senang sepak bola dan sisanya menyukai tenis meja. Setiap siswa hanya menyenangi satu cabang olah raga saja. Jika banyak siswa di SD yang mengikuti ketiga cabang olahraga tersebut ada 40 orang, maka berapa orang yang menyukai cabang tenis meja ?

Solusi :

· Siswa yang gemar basket 35%

· Siswa yang gemar sepak bola 0,4 = 40%

· Siswa yang gemar Volly 100% - 35% - 40 % = 25%

Jadi banyak siswa yang gemar Volly adalah 25% x 100 = 10 Orang.

11. Perbandingan harga pembelian dengan harga penjualan sebuah meja adalah 5 : 7. Jika untung yang diperoleh Rp32.800,00. Berapakah harga penjualan meja tersebut ?

Solusi :

Di ketahui perbandingan harga beli dan harga jual adalah 5 : 7

Selisih perbandingan = 2.( keuntungan )

Sehingga harga penjualan=

x Rp 32.800,00

= 7 x 16.400

= 114.800,00.

12. Dalam satu kelas 24 siswa yang membawa pensil dan 26 siswa yang membawa penggaris. Jika 20 siswa yang membawa pensil dan penggaris, maka berapa banyak siswa di kelas tersebut ?

Solusi :

Banyak siswa yang membawa pensil saja = 24 – 20 = 4

Banyak siswa yang membawa penggaris saja = 26 – 20 = 6

Banyak siswa semuanya = 20 + 4 + 6 = 30 orang.

13. Data berikut adalah nilai ujian matematika siswa kelas VI disajikan pada table berikut ini:

Nilai	5	6	7	8	9	10
Banyak siswa	1	5	N+1	N	3	2

Nilai rata-rata dari data diatas 7,45 dan standar minimalnya 8. Maka berapa siswa yang dinyatakan lulus ?

Solusi :

Soal ini dapat diselesaikan Sbb:

Nilai	Banyak siswa	Hasil kali
5 6 7 8 9 10	1 5 n + 1 n 3 2	5 30 7n + 7 8n 27 20
Jml	12 + 2n	89 + 15n

Rata –rata =

Sehingga 7,45 =

Ø 7,45 ( 12 + 2n ) = 89 + 15n

Ø 89,4 + 14,9n = 89 + 15n

Ø 89,4 – 89 = 15n - 14,9n

Ø 0,4 = 0,1n

Ø n = 0,4 : 0,1

Ø n = 4.

Jadi banyak siswa yang dinyatakan lulus adalah siswa yang mendapat Nilai 8 keatas yaitu sebanyak 9 siswa ( 4 + 3 + 2 ).

14. Nilai ulangan matematika Ayu adalah sebagai berikut : 6, 7, 9, 7, dan 10. Ayu disuruh memilih nilai yang akan dimasukkan ke raport dengan menggunakan Mean, Modus, atau Median. Bantulah Ayu, yang mana yang akan dipilih ?

Solusi :

Nilai ulangan Ayu : 6, 7, 7, 9, 10

Mean =

Median = 7

Modus = 7

Maka yang dipilih oleh Ayu adalah Mean yaitu 7,8

15. Sebuah kereta api berjalan dengan kecepatan 30 km perjam melewati sebuah terowongan yang panjangnya 9 kali panjang kereta api itu. Jika kereta api memerlukan waktu 4 menit untuk melewati terowongan. Berapa panjang kereta api itu ?

Solusi :

Kereta api melawati terowongan memerlukan waktu 4 menit. Sehingga dalam 4 menit rel kereta api yang dilalui kereta api adalah panjang kereta api ditambah panjang terowongan.

Ø Misal panjang kereta api adalah x km.

Ø Panjang terowongan adalah 9x km, sehingga panjang terowongan + panjang kereta api = 10x.

Ø Jarak = Kecepatan x Waktu.

Ø S = V x t

Ø 10x = 30 x

= 2 km.

Ø x =

km = 200 meter.

Jarak antar titik disamping adalah sama. Persegi dibuat dengan titik – titik sudutnya terletak pada titik –titik tersebut. Banyak persegi yang dapat dibuat adalah … buah

16.

Solusi :

Persegi yang sisi satu satuan sebanyak 9

Persegi yang sisi

satuan sebanyak 4

Persegi yang sisi 2 satuan sebanyak 4

Persegi yang sisi

satuan sebanyak 2

Persegi yang sisi 3 satuan sebanyak 1

Jadi banyak persegi yang dapat dibuat adalah 9 + 4 + 4 + 2 + 1 = 20

Sejumlah kamus yang tebalnya 4 cm dan beratnya 7 ons akan diletakkan di rak buku yang panjangnya 0,75 m dengan berat buku keseluruhan yang dapat di tampung rak tersebut 12 kg. Kamus yang dapat diletakkan ke dalam rak paling banyak … buah.

Solusi :

Panjang rak 0,75 m = 75 cm

Berat yang dapat ditampung rak = 12 kg = 120 ons

Kamus tebal 4 cm

Berat 7 ons

Kapasitas tampung

75 : 4 = 18 sisa 3

Beratnya = 18 x 7 = 126 ons ( tidak memenuhi syarat beratnya )

75 : 4 = 17 sisa 7

Beratnya = 17 x 17 = 119 ons ( beratnya memenuhi syarat )

Jadi kamus yangdapat di tampung oleh rak sebanyak 17 buah

Budi akan membuat jaring-jaring tabung lengkap dengan tutupnya, dengan menggunakan bahan yang berbentuk persegi panjang yang berukuran 2 m x 1 m. Jika jari-jari tabung 14 cm dan tingginya 15 cm. Berapa maksimal banyak tabung yang bisa dibuat ?

Solusi :

88 cm

Penjelasan :

12 lingkaran untuk alas dan tutup tabung. Dan 6 persegi panjang untuk selimut tabung. Sehingga tabung maksimal yang diperoleh adalah 6 buah.

Perbandingan pensil dan pena dalam tas adalah 5 : 7. Jika sebuah pensil diambil dari tas dan sebuah pena dimasukkan ke dalamnya maka perbandingan banyak pensil dan pena menjadi 2 : 3. Pena dalam tas ada sebanyak ... buah

Solusi :

Pensil : Pena = 5 : 7

5p – 1 : 7p + 1 = 2 : 3

3 x (5p – 1) = 2 x ( 7p + 1 )

15 p – 3 = 14 p + 2

15 p – 14 p = 2 + 3

p = 5

Pena = 7 x 5

= 35

Jadi, pena dalam tas ada sebanyak 35 buah

Kelvin menulis angka dengan pola seperti berikut : 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,… Berapa jumlah dari bilangan yang ditulis Kelvin sampai angka ke-50 ?

Solusi :

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, …

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

Suku ke-46 sampai ke-50 adalah 10

Jadi polanya menjadi 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,9,10,10,10,10,10.

Jumlah bilangan yang ditulis Kelvin 1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+…+9+10+10+10+10+10

= 1²+2²+3²+4²+…+9²+5x10

+ 50

=285 + 50

=335

Empat puluh persegi satuan akan dirangkai sedemikian rupa sehingga hanya dua sisi persegi yang berimpit dengan sisi persegi yang lain. Di dalam rangkaian persegi tersebut akan terbentuk daerah segiempat. Berapa luas maksimal daerah yang dibentuk oleh rangkaian persegi tersebut ?

Hasil dari adalah ….

Solusi :

= 50

Berapa Jumlah a dan b ?

Solusi :

Menjumlahkan mulai dari paling bawah :

3 +

= 3

= 1 :

1 x

1 +

= 1

= 1 : 1

1 :

= 1 x

1 +

= 1

= 1 : 1

1 :

= 1 x

1 +

= 1

Jadi a = 25 dan b = 16, maka a + b = 25 + 16 = 41.

A dan B bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 10 hari. B dan C bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama dalam 15 hari. A dan C bekerja bersama-sama menyelesaikan pekerjaan yang sama pula membutuhkan waktu 12 hari. Berapa waktu yang diperlukan A, B dan C jika bekerja bersama-sama untuk menyelesaikan pekerjaan itu ?

Solusi :

A + B =

B + C =

A + C =

2A + 2B + 2C =

A+ B + C =

Misalnya watu yan dibutuhkan oleh A,B, dan C bekerja bersama-sama untuk menyelesaikan pekerjaan itu adalah N hari,maka

N x

= 1

N = 8

Jadi waktu yang diperlukan jika bekerja bersama untuk menyelesaikan bersama-sama adalah 8 hari

Perhatikan gambar berikut, AC = 8 cm dan CD = 6 cm. BAC = EAC.

B dan D merupakan dua titik pada lingkaran yang berpusat pada di C. Tentukanlah

panjang AE.

Solusi:

Panjang BC = panjang CD = 6

Karena AC = 8 cm dan segitiga ABC siku – siku maka panjang AB = 10 cm

Karena

maka segitiga ABC

Akibatnya AE : AB = AD : AC

Sehingga AE : 10 = 14 : 8 atau AE = 17,5 cm

Tujuh buah anak tangga menghubungkan lantai I dan lantai II sebuah gedung. Kemiringan tangga terukur 45. Jika lebar setiap anak tangga 30 cm, berapa meterkah tinggi lantai II diukur dari lantai I ?

Solusi:

Karena sudut elepasi tangga 45⁰ maka

Tinggi anak tangga sama dengan lebar anak tangga, sehingga tinggi lantai II dapat dihitung dengan mengalikan tinggi anak tangga kali 7 yaitu 210 cm atau 2,1 meter

Pembagi sejati suatu bilangan adalah pembagi bilangan itu yang bukan 1 dan bilangan itu sendiri. Pembagi sejati bilangan 2³x 3²x 5² ada sebanyak … buah

Solusi:

2^{3 =}8 , 3² = 9 , 5²= 25,kemudian cari factor dari :

8 = 1,2,4,8

9 = 1,3,9

25 = 1,5,25

Banyak faktor sejati = (4 x 3 x 3) - 2 =36 – 2 = 34

Ayu, Bargo dan Cika membagi suatu bilangan yang sama. Ayu membagi bilangan dengan 4 hasilnya bersisa 3. Bargo membagi dengan 5 hasilnya bersisa 4, dan Cika membagi dengan 6 hasilnya bersisa 5. Bilangan terkecil yang mereka bagi adalah ….

Solusi:

N : 4 = ….bersisa 3 kurangnya 1

N : 5 = ….bersisa 4 kurangnya 1

N : 6 = ….bersisa 5 kurangnya 1

Kita cari KPK 4,5,dan 6 adalah 60

Jadi,bilangan terkecil yang dibagi adalah 60 – 1 = 59

Sederhanakan bentuk berikut ini !

Solusi :

Hasil dari adalah …

Solusi :

= 10.

31. Letakkanlah bilangan-bilangan 5,6,7,8 dan 9 pada lingkaran yang terdapat pada sisi segitiga sehingga jumlah setiap sisinya sesuai dengan bilangan yang pada segitiga itu !

Solusi:

Ali mengelompokkan bilangan – bilangan ganjil (1) (3,5) (7,9,11) (13,15,17,19)…. Jumlah bilangan pada kelompok ke- 20 adalah …

Solusi :

Kelompok I berisi 1 bilangan, kelompok II berissi 2 bilangan, dan seterusnya sehingga kelompok ke 20 memuat 20 bilangan ganjil.

Untuk menentukan jumlah bilangan ganjil sampai kelompok ke 20 sbb :

Banyak bilangan sampai kelompok ke 19 adalah 1 + 2 + 3 + . . . + 19 = 190.

Berarti bilangan pertama kelompok ke 20 adalah bilangan ganjil ke 191, yaitu bilangan 381.

Sehingga bilangan kelompok ke 20 ( 381 , 383 , 385 ,387 ,389 , 391, 393 , 395 , 397 , 399 , 401 , 403 ,405 , 407 ,409, 411 ,413 , 415 , 417 , 419 ).

Jadi jumlah bilangan ganjil kelompok 20 adalah 8.000

Pecahan tepat terletak diantara dan maka nilai adalah ….

Solusi :

Pecahan antara

dan

adalah

Tentukanlah hasil penjumlahan dari

( 2² – 1² ) + ( 3² – 2² ) + ( 4²– 3² ) + … + ( 99² – 98² )

Solusi :

Penyelesaian di dapat dengan pola penjumlahan bilangan ganjil berurutan yaitu : 3 + 5 + 7 + . . . + 197

Sehingga hasilnya didapat dengan 3 + 5 + 7 + . . . + 195 + 197

197 +195 + . . . + 5 + 3 +

2 J = 200 + 200 + . . . + 200 + 200 ( sebanyak 98 jml)

2 j = 200 x 98

2 j = 19.600

j = 19.600 : 2

j = 9.800

35. Angka terakhir dari

kalau dinyatakan dengan pecahan desimal adalah ….

Solusi :

x ... x

............... ( 10 x)

= 0,5 X 0,5 X O,5 X . . . X 0,5 ...............( 10 X )

= 0,0048828125.

Jadi angka terakhir dari soal diatas adalah 5

Perbandingan luas A dengan luas daerah yang diarsir

Adalah 12 : 1, Sedangkan perbandingan luas daerah

B dengan daerah yang diarsir 9 : 2 . Berapakah perban-

B luas daerah yang tidak diarsir dengan luas total?

Solusi :

LA : LC : LB.

LA : LC = 12 : 1

LB : LC = 2 : 9

24 : 2 : 9

LC : Ls = 2 : ( 24 + 9 - 2 )

= 2 : ( 33 - 2 )

= 2 : 31

Tentukan besar sudut A!

Solusi :

Jadi besar

A = 180⁰ + - ( 60⁰ + 60⁰ + 25⁰ )

= 180⁰ - 145⁰.

= 35⁰

Bangun disamping adalah limas segi empat beraturan

dengan panjang PQ = 12 cm, dan volumenya 384 cm²

Tentukan panjang TB!

Solusi :

Volume limas =

x PQ x QR x TA

Volume limas =

x 12 cm x 12 cm x TA

= 48 TA

384 cm³ = 48 TA

TA = 384 cm³: 48cm²

TA = 8 cm

TB =

= 10

Jadi panjang TB adalah 10 cm.

B

A

Jika AB = 14 cm . Tentukan luas daerah yang diarsir!

Solusi :

AB = 14 cm

Luas segitiga =

x 14 x 14 x 1 cm ²

= 98 cm²

Luas lingkaran = πr²

x 7 x 7 x 1 cm²

= 154 cm²

Luas

lingkaran = 154 : 4 x 1 cm²

= 38,5 cm²

Luas yang diarsir = L o + L Δ - 2 x L

= 154 + 98 – 2 x 36,5

= 252 – 77

= 175 cm²

Diketahui ruas garis AB = AC , BC = BD = DE, ruas garis AD tepat memotong ruas garis BC menjadi dua bagian yang sama panjang di titik F. Tentukanlah besar sudut ADB!

Solusi :

PR!

SOAL EKSPLORASI !

1. Bagilah masing-masing bangun di bawah ini menjadi empat bagian yang kongruen!